（1）标量解的本征方程
要确定光纤中导波的特性，就需要确定u、w和β，这三个参数我们已在式（2.44）中作了定义。
对于u、w和β三个变量，在式（2.44）中只有两个方程，还需要找出另一个关系式，才能确定所有三个量，这个关系式就是特征方程。
基于式（2.50）和式（2.51）这两个电磁场分布函数，再考虑到贝塞尔函数的特点，及电磁波在光纤纤芯和包层间的边界条件，以及适当假设，我们就可以得到光纤的电磁场分析下的特征方程。
下面利用边界条件之一，即光纤在纤芯和包层的边界r=a处，电场的轴向分量连续，来求特征方程。
在界面r=a处，根据边界条件，有[图片]，将边界条件带入式（2.50a）和式（2.50b）可得
上式要在任意θ值均成立，就要求方程两边含有sin(m+1)θ项和sin(m-1)θ项的系数分别相等，于是可得
[图片]
大多数通信光纤的纤芯与包层相对折射率差Δ都很小（例如Δ<0.01），因此有n1≈n2≈n和β=nk的近似条件。这种光纤称为弱导光纤，对于弱导光纤沿z方向传输常数β满足的本征方程可以简化为
此即为均匀光纤弱导条件下的特征方程。
（2）LPmn模的截止条件
① 截止的概念。当光纤中出现辐射模时，即认为导波截止。
根据snell定律可推出导波传输常数的变化范围为
[图片]
当β=kn2，这时处于全反射的临界状态，电磁能量已不能有效地封闭于纤芯中，而向包层辐射，这种状态叫做导波截止的临界状态。
当β<kn2，辐射损耗将进一步增大，光波能量不再有效地沿光纤轴向传输，这时即认为出现了辐射模，导波处于截止状态。
②截止情况下的特征方程。由于传输常数β=kn2是导波截止的临界状态，因此由式（2.44b）截止时的归一化径向衰减常数为[图片]
根据特征方程式（2.52b），在w→0时，根据数学知识，特征方程中的Km(w)为
[图片]
可见无论m为何值，特征方程中式（2.52b）的右边均为0，这时我们就可得到
在截止情况下，无论m为何值，都有
[图片]
当u≠0时，要让上式成立，必须 Jm−1(u)=0　　　　（2.54）
此式即为截止时的特征方程。
截止时，w=wc=0，Vc=uc，分别称为归一化截止频率和归一化截止相位常数。显然，在截止条件下得到的特征方程的解uc就是所对应模式的截止条件Vc。由此可以解出uc，确定截止条件。uc是m-1阶贝塞尔函数的根。
当m=0时，J−1(uc)=J1(uc)=0，可解出uc=μ1,n−1=0，3.83171，7.01559，10.17347，…，这里μm−1,n是一阶贝塞尔函数的第n-1个根，n=1,2,3,…。显然，LP01模的截止频率为0，LP02模的截止频率为3.83171，这意味着当归一化频率V小于3.83171
时，LP02模不能在光纤中传输，而LP01模总是可以在光纤中传输的。
当m≠0时，Jm−1(uc)=0，可解出uc=μm−1,n，它是m-1阶贝塞尔函数的第n个根，n=1,2,3,…。对于m=1，uc=μ0,n=2.40483，5.52008，8.65373，…。表2.1列出了较低阶LPmn模截止时的uc值。
[图片]表2.1 截止时较低阶LP
根据前面的分析，当光纤的归一化频率小于LP11模的截止频率时，光纤中将只有LP01模能够运行，我们将
0<V <Vc=2.40483　　　（2.55）
称为光纤的单模传输条件。因为归一化频率是工作波长和折射率分布的函数，当光纤参数确定后，只有工作波长大于某一特定波长时，光纤才能实现单模传
输。我们称这个特定波长为光纤的截止波长，可表示为
[图片]
（3）LPmn模远离截止时的解及其物理意义
从上面对模式截止条件的分析可以看出，在光纤中，随着归一化频率V的增大，它所截止的模式的阶数也增加，即传播的模式增加。现在我们分析另一种极端情况：远离截止时的情况。随着光纤归一化频率的增加，导波的径向归一化衰减常数w越来越大，这意味着导波在包层中径向衰减加快，导波能量往光纤纤芯中集中，当V和w足够大时，除靠近V的几个高阶模外，导波能量基本集中在光纤纤芯当中。我们把这种状态称为远离截止的情况。
同样方法我们可得到远离截止时的特征方程简化为
Jm(u)=0　　　　（2.57）
可见远离截止时的特征值是m阶贝塞尔函数的根μm,n（n=1,2,3,…）。表2.2中列出了μm,n较低阶的值。
[图片]表2.2 远离截止时LP
综上所述，LPmn模的u值在截止时为m-1阶贝塞尔函数的第n个根，在远离截止时为m阶贝塞尔函数的第n个根，在一般情况下应在这两者之间变化。
（4）LPmn简并模的讨论
上面讨论了沿y方向极化的LP模，并假定它沿圆周方向是cosmθ变化的。实际上还存在着与Ey垂直的x方向的极化场Ex。这两种极化波又都有选取sinmθ和cosmθ的自由。尽管它们有形式上的差别，但在弱导近似下的传播常数是相同的，可用同一组标号 m、n 表征，统称为LPmn模，又称之为简并模。每一个LPmn模一般有四重
简并。当m=0时，sinmθ=0，LP0n模只有两重简并。图2.16所示为LP01模和LP11模的各种可能分布。
[图片]图2.16 LP
在LP模分析法中，各LPmn模的标号m、n有明确的物理意义，它们表示对应模场在光纤横截面上的分布规律。由式（2.50）可知，LPmn模在纤芯中的横向电场分布
为
[图片]
它沿圆周及半径方向的分布规律分别为
[图片]
显然，光场在圆周方向上的变化情况与m有关，当m=0时
[图片]
说明在圆周方向上无光场变化，在圆周方向上出现最大值的个数为0。当m=1时
由式（2.62）可知，光场沿径向的变化与n 有关。下面以m =0 为例加以说明。这时LP0n模的场沿径向按零阶贝塞尔函数的规律变化。在远离截止的情况下，对LP01模u=μ01=2.40483，它沿径向的变化规律为
[图片]
在r=0处，R(0)=1；在r=a处，R(a)=0，它沿r的变化情况如图2.17（a）所示。对LP02模u = μ02=5.520 08，它沿径向的变化规律为
在 r=0 处，R(0)=1；在 r=0.435 7 处，R(r)=0；在 r=a 处，R(a)=0，它沿 r 的变化情况如图2.17（b）所示，沿半径有两个最大值。可见，n表示沿半径最大值的个数。
[图片]图2.17 LP